抛物线顶点坐标公式是二次函数图像的重要特征，用于确定抛物线的最高点或最低点位置。以下是详细说明：
一、标准二次函数形式
对于一般形式的二次函数：
$$y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$$
其顶点坐标公式为：
$$\left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right)$$
二、推导过程
顶点横坐标
通过求导数并设导数为零，可得顶点的横坐标为：
$$x = -\frac{b}{2a}$$
这一结果通过配方法也可推导得出。
顶点纵坐标
将横坐标代入原函数，得到顶点的纵坐标：
$$y = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c = \frac{4ac - b^2}{4a}$$。
三、特殊形式补充
当二次函数为顶点式 $$y = a(x - h)^2 + k$$ 时，顶点坐标直接为 $(h, k)$。
对于形如 $y = ax^2$ 的抛物线，顶点坐标为 $（0, 0）$。
四、应用场景
该公式在数学、物理及工程领域有广泛应用，例如：
求解抛物线对称轴
优化问题（如抛物面镜面设计）
物理学中的抛体运动分析。
五、注意事项
公式仅适用于二次函数，且 $a \neq 0$。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，开口向下。
通过掌握该公式，可快速确定抛物线的极值点及对称轴，是解析几何中的核心内容之一。