第三次数学危机，也被称为康托尔悖论引发的数学危机，发生在19世纪末至20世纪初。这次危机的主要原因是 康托尔集合论中的悖论，尤其是罗素悖论的发现。集合论是数学的基础之一，而罗素悖论对集合论中的自指性质提出了质疑，导致了数学整个基本结构的有效性的怀疑。
第三次数学危机的主要经过
罗素悖论：
1897年，数学家伯特兰·罗素发现了罗素悖论。这个悖论描述了一个集合，它包含所有不包含自己的集合。那么问题来了，这个集合是否包含自己？如果包含，那么根据定义，它就不应该包含自己；如果不包含，那么根据定义，它应该包含自己。
数学界的反应：
罗素悖论的发现震惊了整个数学界，因为它对集合论和数学的基础提出了严重的挑战。数学家们开始反思数学的公理和定义，试图找到解决这一悖论的方法。
第三次数学危机的影响
公理化方法的发展：
为了解决悖论，数学家们开始探索不同的公理化和形式化方法。罗素提出了类型论，策梅罗提出了第一个集合论公理系统（策梅罗——弗伦克尔集合论），后经弗伦克尔、伯奈斯和哥德尔等人进一步改进，形成了伯奈斯——哥德尔集合论公理体系。
数理逻辑的进步：
第三次数学危机推动了数理逻辑的发展，特别是证明论等现代数学分支的形成。哥德尔的不完全性定理进一步揭示了形式系统的局限性，表明任何自洽的数学系统都存在无法被证明的真命题。
数学研究的深化：
危机促使数学家们开始探索更为广阔的数学领域，寻找新的公理和理论来弥补现有理论的缺陷。这一过程推动了数学的深化和发展。
结论
第三次数学危机虽然还没有从根本上解决，但它对数学和数理逻辑的发展产生了深远的影响。通过这次危机，数学家们认识到数学的基础和公理体系并非绝对可靠，从而推动了数学研究的不断进步和深化。至今，许多关于数学基础和数理逻辑的重要问题仍未得到彻底解决，但这并没有阻止数学家们继续探索和挑战现有的理论。