阿基米德螺旋线的极坐标方程为：
\[ r = a + b\theta \]
其中：
\（ r \） 是螺旋线上某点到原点的距离，
\（ a \） 是起始点与极坐标中心的距离，
\（ b \） 是控制螺线间的螺距，
\（ \theta \） 是极角。
这个方程描述了阿基米德螺旋线的特性，其中 \（ a \） 决定了螺线的起始位置和旋转速度，而 \（ b \） 决定了螺线的螺距，即每旋转一圈 \（ \theta \） 弧度，螺旋线在极径上增加的距离。
如果我们将极坐标方程转换为直角坐标系中的方程，可以使用以下转换公式：
\[ x = r \cos \theta \]
\[ y = r \sin \theta \]
将 \（ r = a + b\theta \） 代入上述公式中，得到：
\[ x = （a + b\theta） \cos \theta \]
\[ y = （a + b\theta） \sin \theta \]
这就是阿基米德螺旋线在直角坐标系中的方程。
此外，阿基米德螺旋线的长度可以通过积分来计算。具体而言，可以将螺旋线参数化为极坐标形式，然后使用弧长公式进行积分计算。弧长公式为：
\[ L = \int \sqrt{r^2 + \left（\frac{dr}{d\theta}\right）^2} \, d\theta \]
其中 \（ r \） 是螺旋线的半径函数，\（\frac{dr}{d\theta}\） 是 \（ r \） 对 \（ \theta \） 的导数。通过对 \（ \theta \） 从起始角度到终止角度进行积分，即可得到螺旋线的长度 \（ L \）。
总结起来，阿基米德螺旋线的极坐标方程为 \（ r = a + b\theta \），在直角坐标系中的方程为 \（ x = （a + b\theta） \cos \theta \） 和 \（ y = （a + b\theta） \sin \theta \）。螺旋线的长度可以通过积分计算得到。